· 损失函数对模型的表现具有重大的影响，能否规定出一个能准确衡量LOSS的函数至关重要。
· 接下来，我们将以逻辑回归的LOSS函数选定为例，探讨一些有关损失函数选择的思考。
· 我们算出了z的值，但z的的取值范围是R，因此我们的LOSS需要输入一个z，输出一个y hat，不是0就是1。
· 这是最直观，最容易想到的方法，即如果z>=0那y hat就是1，否则就为0，表示为：
· 这样我们得到了类似Sigmoid的激活函数，那么损失函数就很好定义了，就是直接判断y和y hat是否相等即可：
· 小知识，Ⅱ这个符号在机器学习中是指示函数（Indicator Function）的意思，这个指示函数就是用于判断y和y hat是相等。
· 我们来讨论y=1的时候的情况，即y hat=1的时候就猜对了，此时指示函数为0，y hat=0的时候就猜错了，指示函数为1。
· 这样，我们把所有的损失加在一起，就可以数出来错了多少个，这样，错的越多代价就会越高，因此能写出代价函数为：
· 这样直觉上来想是没什么问题的对吧，但其实会有一个致命的问题，导数为0。什么意思呢？
· 假设我们现在要对w参数进行优化，那根据梯度下降，我们需要求出w的梯度：
· 我们把z-L的图像画出来看看，z<0的时候L为1，z>=0的时候L为0：
· 很直观了，导数处处都为0，这样就求不出梯度，无法进行优化。
· 这个损失函数最后的结果就是失去了梯度，用人话说就是失去了学习的方向，根本就学不动了！所以这是个失败的损失函数。
· 我们在线性回归中使用的损失函数就是均方差损失（Squared Error，SE），那套用在这里行不行呢？
· 同样的，我们把求梯度的时候需要的z-L图像画出来看看（也是讨论y=1的时候）：
· 很明显是个二次函数，z=1的时候是最低点，然后我们把y=0的时候的曲线也画出来（在z=0的时候最小）：
· 可以发现，其实最后我们优化的困难的点只有0到1这一段区间，虽然z的取值范围是R，但是其他值都很容易向0-1靠拢，最后还是要在0-1这段区间里面去优化。
· 这意味着，我们的优化程序需要非常高的精度，因为优化范围只有0-1这一段，这就给我们的优化造成了非常大的阻碍了。
· 理论上来说你硬学是没问题的，但就是有难度，因此这也不是个好的LOSS函数。
· 补充：线性回归不存在这个问题，因为线性回归中的y取值范围也是R。
· 既然出现了优化范围小的问题，我们就想尝试去解决这个问题，因此我们就提出了Sigmoid激活函数了，它的作用就是把z的取值范围从R映射到[0,1]。
· 然后再套入均方差损失函数，此时就避免了上面我们提到的优化范围很小的问题了，因为映射后的z和y的取值范围一样了。
· 但是这样子就结束了吗？我们还是把z-L图画出来看看，依然是以y=1为例子：
· 可以发现，在z<=-4和z>=4的区间内，L的斜率都几乎为0了，又出现了这种斜率为0的情况，但是有一点不一样。
· z>=4的时候，虽然斜率为0，但是没什么问题，因为此时LOSS也已经接近0了，模型的表现已经很好了，所以即使在这里学不动问题也不大。
· 但是z<=-4的时候问题就很大了，LOSS非常高且梯度几乎为0，这样就是又差又不学了！
· 一样的，出现了问题我们就要解决问题，我们不希望z-L图的前半段那么平，最好图像就是一直往下的。
· 因此，数学家们就提出了交叉熵损失函数，用这个损失函数就能很完美的解决问题了。
· 画出z-L的图长这样：
· 可以看到这个函数保证了始终有一个斜率，这样就能保证至少能优化了。
· 我们把刚刚4种尝试中的z-L图画在一张图里，就是：
